2022年考研数学二解题思路深度解析及考点评析

发布于 2022-01-29 17:16

        一、选择题:1-10小题,每小题5分,共50分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.

      事实上,可以证明其它命题都是真命题.证明如下:
     【考点评析】无穷小的比较.无穷小的比较以及等价无穷小在极限运算中的替换是高频考点.

     考点评析】交换积分次序及二重积分的计算是常考内容.属于简单计算题,只要计算出正确结果,则正确的选项自然一目了然.

     考点评析】函数的单调性及凹凸性的判断.这两个问题的判断分别是用一阶导函数和二阶导函数进行判断的.注意:仅凭一点处的导数值是不能判断出函数的单调性的,同样仅凭一点处的二阶导数值也不能判断出凹凸性.


     【考点评析】偏导数的计算,积分上限函数及复合函数的求导.若计算出正确结果,自然可知正确选项.

     考点评析】反常积分的收敛性判断,比较审敛法及其极限形式是常用方法.

     【考点评析】数列敛散性的判断.

     【考点评析】利用定积分的性质判断积分值的大小关系.实质就是比较函数的大小. 属于高频考点.

     【考点评析】相似矩阵的性质,矩阵可对角化的充分条件与充分必要条件.属于高频考点.
       矩阵可对角化的充分条件: 若n 阶矩阵A有n个两两不同的特征值,则矩阵A可相似于一对角矩阵.
       矩阵可对角化的充要条件: n阶矩阵A相似于一对角矩阵的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量.

     【考点评析】线性方程组解的讨论.是常考内容.


        二、填空题:11-16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题卡指定位置上.

     考点评析】求隐函数的导数.属于常考内容.另外对数求导数,由参数方程确定的函数的导数也经常会在试题中出现.

     考点评析】定积分的计算.常用方法是换元积分法与分部积分法.

     考点评析】求高阶线性常系数齐次微分方程的通解.

     考点评析】定积分的几何应用,求由曲线所围成的平面图形的面积.本题中的曲线由极坐标方程给出.

     【考点评析】 
     1)矩阵的初等变换与初等矩阵.其核心是:对矩阵实施初等行变换相当于在矩阵的左边乘一个相应的初等矩阵, 对矩阵实施初等列变换相当于在矩阵的右边乘一个相应的初等矩阵.
     2)初等矩阵是可逆矩阵,初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵.
     3)矩阵的迹的概念.
        三、解答题:17-22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

     考点评析】导数的定义,可导与连续的关系及其应用.等价无穷小在极限运算中的替换.

     【考点评析】1)一阶线性微分方程的求解方法:公式法与积分因子法(考试中一般很少用到常数变异法).

     2)定积分的几何应用,求曲线的弧长.求曲线的弧长要用到弧微分公式.

     本套试题的第15小题也是定积分的几何应用,只不过是求由极坐标曲线所围成的平面图形的积分.

     【考点评析】本题是利用极坐标计算二重积分.二重积分可在直角坐标系与极坐标系下计算,若在直角坐标系下计算二重积分,则在第一时间应注意一下积分区域是否具有对称性,被积函数关于某一变量是否具有奇偶性.

     考点评析】求函数的偏导数;二元函数的极值.

     【考点评析】本题是综合性的证明题,但其主要考点为泰勒公式和定积分的性质.一般而言,若在条件中出现了“函数具有连续的二阶导数”,则一定要想到函数的二阶泰勒公式.

     考点评析】利用正交化方法化二次型为标准形.(对称)矩阵的特征值与特征向量的求解,向量组的正交标准化.这是历年考研试题中常出现的题型.


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